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Symmetrie in geometrischen Figuren

Die Symmetrie ist in der Geometrie eine Eigenschaft, die Figuren bei theoretischen Bewegungen auf sich selbst abbilden lässt, d. h. es gibt Punkte oder Linien, mit denen man eine Gesetzmäßigkeit eruieren kann, welches Gleichmaß von diesen Punkten oder Linien ausgeht. Überhaupt bedeutet das altgriechische Wort “symmetria” übersetzt “Gleichmaß”. Oftmals steht die Symmetrie für eine Ausgewogenheit einer geometrischen Figur. Der Kreis hat die meisten Gegebenheiten der Symmetrie. Nachfolgend werden die möglichen Arten der Symmetrie ausführlich beschrieben.

Achsensymmetrie

Die Achsensymmetrie ist eine Spiegelsymmetrie, d. h. teilt man eine geometrische Figur und klappt die eine Hälfte gedanklich auf die andere Hälfte um, so muss sie exakt auf die andere Hälfte passen, damit eine Symmetrie gegeben ist. In der folgenden Aufzählung werden einige Figuren hinsichtlich ihrer Achsensymmetrie beschrieben.

  • Quadrat: 4 Symmetrieachsen (2 Mittelsenkrechten und 2 Diagonalen)
  • Rechteck: 2 Symmetrieachsen (2 Mittelsenkrechten)
  • Kreis: unendlich viele Symmetrieachsen (beliebig viele mögliche Punkte am Umfang, die durch den Mittelpunkt gehen können)
  • Kugel: unendlich viele Symmetrieachsen (beliebig viele mögliche Punkte am Umfang, die durch den Mittelpunkt gehen können)
  • Gerade: unendlich viele Symmetrieachsen (Da eine Gerade unendlich lang ist, gibt es auch unendlich viele mögliche Schnittpunkte durch Symmetrieachsen.)

Anhand dieser Punkte kann man einige verallgemeinernde Theorien bilden, die bestimmte geometrische Figuren in Kategorien zusammenfassen. Eine Einschränkung von mehreren Achsensymmetrien ist das Fehlen der Gleichheit aller Seitenlängen, wie z. B. beim Rechteck. Hier gibt es nur zwei Symmetrieachsen, denn, anders als beim Quadrat, können die Diagonalen keine Symmetrie herstellen. Als Probe kann man sich gedanklich vorstellen, dass man ein Rechteck mit einer Diagonale in zwei Hälften teilt und die eine Hälfte über die andere Hälfte klappt. Alternativ kann man auch ein Blatt Papier zu einem Rechteck falten und dieses von der einen Seite diagonal über die andere Seite klappen. In beiden Versuchen erkennt man, dass keine Symmetrie zustande kommen kann. Aber auch Quadrate sind hinsichtlich der Anzahl an Symmetrieachsen den Kreisen und Kugeln unterlegen. Das liegt daran, dass Ecken bei einer geometrischen Figur die Anzahl an Symmetrieachsen verringern. Somit kann man Kreise und Kugeln als runde Figuren derart klassifizieren, dass sie auf allen möglichen Punkten des Außenumfangs den gleichen Abstand zum Mittelpunkt haben. Die runde Form ist damit nicht die Hauptbedingung für unendlich viele Symmetrieachsen. Bei Ovalen beispielsweise ist die Unendlichkeit an Symmetrieachsen nicht gegeben, weil nicht alle Punkte denselben Abstand zum Mittelpunkt haben.

Punktsymmetrie

Bei der Punktsymmetrie ist eine geometrische Figur symmetrisch, wenn sie durch die an einem Symmetriepunkt befindliche Spiegelung selbst abgebildet wird. Hauptsächlich liegen diese Symmetriepunkte im Zentrum einer geometrischen Figur. Es können auch mehrere gleich geformte Figuren zueinander punktsymmetrisch sein (z. B. zwei Kreise, die denselben Radius haben). Dreiecke können nicht punktsymmetrisch sein, es sei denn, es handelt sich um zwei gleich geformte Dreiecke. Es gibt stets nur einen Symmetriepunkt, mit Ausnahme der Geraden. Bei ihnen gibt es unendlich viele Symmetriepunkte, da Geraden unendlich lang sind und damit unendlich viele Zentren haben können.

Rotationssymmetrie

Diese Art der Symmetrie ist ausschließlich bei Kreisen, Kugeln und Zylindern vorzufinden. Diese sind symmetrisch, wenn man sie gedanklich um die eigene Achse rotieren lässt.