symmetrisch.net

Die Punktsymmertrie

Punktsymmetrie ist in der Mathematik eine Eigenschaft einer Figur (in der Geometrie) oder einer Funktion, bzw. genauer eines Funktionsgraphen. Sie bedeutet, dass die Figur (der Graph) durch eine Spiegelung in einem bestimmten Punkt auf sich selbst abgebildet wird. Dieser Punkt liegt auf, bzw. in der Figur (dem Graphen) und wird Symmetriepunkt oder (Symmetrie-) Zentrum genannt. Die Spiegelung in einem Punkt bedeutet, dass es zu jedem Punkt der Figur einen korrespondierenden weiteren Punkt auf der Figur gibt, so dass der Symmetriepunkt der Mittelpunkt der Verbindungsstrecke der beiden Punkte ist.

Ebene Figuren

Bei Figuren in der Ebene unterscheidet man zwischen zwei Arten von Symmetrie. Der Punktsymmetrie und der Achsensymmetrie. Wenn bei der Punktsymmetrie auch von einer Punktspiegelung gesprochen werden kann, wird bei der Achsensymmetrie an einer ganzen Achse gespiegelt. Im Gegenteil zur Spiegelung an einer Achse kann die Punktspiegelung auch durch eine korrespondierende Drehung beschrieben werden, nämlich durch eine Drehung um 180° um den Symmetriepunkt. Das bedeutet, dass punktsymmetrische Figuren drehsymmetrisch der Ordnung 2 sind. Ordnung 2 gibt hierbei an, dass die Figur nach einer zweiten Drehung wieder in ihrer Originalposition ist (dann wurde ja um 360° gedreht). Beispiele für punktsymmetrische Figuren sind

  • ein Parallelogramm
  • das Yin-Yang-Symbol
  • die Zahl 8 bzw. das Unendlichkeitssymbol
  • die Buchstaben H, I, N, O, S, X und Z

    Bei dem chinesischen Yin und Yang Zeichen handels es sich um eine Punktsymmetrische Figur.

    Bei dem chinesischen Yin und Yang Zeichen handels es sich um eine Punktsymmetrische Figur.

Der Symmetriepunkt bei einem Parallelogramm ist der Schnittpunkt der Diagonalen. Beim Yin-Yang-Symbol ist der Symmetriepunkt der Mittelpunkt des äußeren Kreises. Die Buchstaben H, I, O und X, sowie auch die 8 und das ∞-Zeichen sind übrigens nicht nur punkt- sondern auch achsensymmetrisch.

Funktionsgraphen

Auch bei Funktionsgraphen unterscheidet man zwischen Achsen- und Punktsymmetrie. Hierbei ist bei der Achsensymmetrie in der Regel die y-Achse als Spiegelachse gemeint, bei Punktsymmetrie ist der Graph in der Regel im Ursprung des Koordinatensystems (dem Punkt (0,0)) gespiegelt. Typische Beispiele sind die Graphen der Sinus- und der Kosinusfunktion. Der Graph der Kosinusfunktion ist achsensymmetrisch, der Graph der Sinusfunktion punktsymmetrisch. Statt von einer Symmetrie der Funktionsgraphen spricht man abkürzend auch von der Symmetrie der Funktionen an sich. Man muss eine Funktion nicht erst zeichnen, um zu überprüfen, ob eine Symmetrie vorliegt, es gibt auch einen Weg, dies mathematisch zu überprüfen. Erfüllt eine Funktion f die Bedingung f(x) = f(-x), so ist sie achsensymmetrisch, erfüllt sie stattdessen f(-x) = -f(x), so ist sie punktsymmetrisch. Bei Funktionen spricht man statt von achsensymmetrischen Funktionen auch von geraden Funktionen und analog von ungeraden Funktionen, wenn man punktsymmetrische meint. Ist eine Funktion punktsymmetrisch in einem beliebigen Punkt (a, b) (und nicht im Ursprung), so erfüllt sie die Gleichung f(a+x)-b = -f(a-x)+b.